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<!DOCTYPE html>

<title>Kondo-Modell</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Kondo-Modell</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Das <b>Kondo-Modell</b> – auch s-d-Modell genannt – ist ein <a href="Mathematisches_Modell" title="Mathematisches Modell">mathematisches Modell</a> zur Beschreibung des <a href="Elektrischer_Widerstand" title="Elektrischer Widerstand">elektrischen Widerstandes</a> in <a href="Metalle" title="Metalle">Metallen</a> mit magnetischen Störstellen – dem sogenannten <a href="Kondo-Effekt" title="Kondo-Effekt">Kondo-Effekt</a> (das anomale Ansteigen des Widerstandes bei sehr tiefen Temperaturen).

</p><p>In diesem vereinfachten Modell werden die stromerzeugenden Elektronen als freie <a href="Elektron" title="Elektron">Elektronen</a> im <a href="Leitungsband" title="Leitungsband">Leitungsband</a> (s-Band) modelliert. Die magnetischen Störstellen am Platz <i>i</i> im Kristallgitter werden als lokalisierte <a href="Spin" title="Spin">Spins</a> angenommen, welche über eine (anti-)magnetische Spin-Spin-Wechselwirkung an die Leitungsbandelektronen gekoppelt sind. Die Modellierung der magnetischen Störstellen als lokalisierte Spins beruht auf der Annahme, dass die Elektronen in den d-Orbitale der magnetischen Störstellen stark lokalisiert sind. Diese s-d-Wechselwirkung wurde zuerst 1951 von <a href="Clarence_Melvin_Zener" title="Clarence Melvin Zener">Clarence Melvin Zener</a> beschrieben.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Kasuya quantifizierte dieses Modell 1956 und stellte den zugehörigen Hamiltonian auf.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> 1964 behandelte <a href="Jun_Kondo" class="mw-redirect" title="Jun Kondo">Jun Kondo</a><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> dieses Modell mittels Störungstheorie 3. Ordnung und berechnete damit den elektrischen Widerstand. Das berechnete Verhalten des elektrischen Widerstandes zeigte qualitativ den experimentell gefundenen Kondo-Effekt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematische_Beschreibung">Mathematische Beschreibung</h2></div>

<p>Das Kondo-Modell kann mit dem folgenden <a href="Hamiltonoperator" title="Hamiltonoperator">Hamiltonian</a> beschrieben werden:

</p>

<mtr>

<mtd>

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<mtext>Kondo</mtext>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

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</mrow>

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</munder>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mtd>

</mtr>

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</mtd>

<mtd>

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</mrow>

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</munder>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</msup>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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<msub>

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</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

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</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{Kondo}}&=H_{0}+H_{J}\\H_{0}&=\sum _{{\vec {k}},\sigma }\epsilon ({\vec {k}})c_{{\vec {k}},\sigma }^{\dagger }c_{{\vec {k}},\sigma }\\H_{J}&=-{\frac {J}{N}}\sum _{n{\vec {k}}{\vec {k}}'}\exp(i({\vec {k}}-{\vec {k}}'){\vec {R}}_{n}){\vec {s}}_{\vec {k}}{\vec {S}}_{n}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fdd52f4f3e6277e0b2a6e1ec0bd8bb53ceee666.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.696ex; margin-bottom: -0.309ex; width:41.573ex; height:17.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{Kondo}}&=H_{0}+H_{J}\\H_{0}&=\sum _{{\vec {k}},\sigma }\epsilon ({\vec {k}})c_{{\vec {k}},\sigma }^{\dagger }c_{{\vec {k}},\sigma }\\H_{J}&=-{\frac {J}{N}}\sum _{n{\vec {k}}{\vec {k}}'}\exp(i({\vec {k}}-{\vec {k}}'){\vec {R}}_{n}){\vec {s}}_{\vec {k}}{\vec {S}}_{n}\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Hierbei beschreibt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43910602a221b7a4c373791f94793e3008622070.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{0}}" loading="lazy"></span> die Leitungsbandelektronen im s-Band mit <a href="Dispersion_(Physik)" title="Dispersion (Physik)">Dispersions</a>-Relation <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon ({\vec {k}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon ({\vec {k}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cab28652cf137e00b47defac79a87a87ceb22918.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.965ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \epsilon ({\vec {k}})}" loading="lazy"></span>.

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{J}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30fde27785df33dcc9bf641803afc26d15f8c575.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.204ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{J}}" loading="lazy"></span> beschreibt die Wechselwirkung der magnetischen Störstellen – beschrieben über die lokalisierten Spins <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {S}}_{n}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {S}}_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b19dea4e9af1dcad9fba31d0b0c75cd341b7b07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.757ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {S}}_{n}}" loading="lazy"></span> am Platz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {R}}_{n}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {R}}_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c10e9d6b5be2fb1041f7fbcbcbf2bb7a2ea7684b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.982ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {R}}_{n}}" loading="lazy"></span> mit den Leitungsbandelektronen. Die Wechselwirkung ist dabei eine reine Spin-Spin-Wechselwirkung mit den Spins <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {s}}_{\vec {k}}}">

<msub>

<mover>

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</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {s}}_{\vec {k}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c90f3990c9617d2667aaf83e9e157be358070cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.312ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {s}}_{\vec {k}}}" loading="lazy"></span> der Leitungsbandelektronen, welche je nach Vorzeichen von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy"></span> ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch sein kann.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ergebnisse_der_Störungstheorie"><span id="Ergebnisse_der_St.C3.B6rungstheorie"></span>Ergebnisse der Störungstheorie</h2></div>

<p>Das Kondo-Modell weist bei anti-ferromagnetischer Kopplung (negatives J) in Störungstheorie 3. Ordnung einen logarithmischen Term im elektrischen Widerstand auf.

</p>

<mtr>

<mtd>

<msub>

<mtext>Kondo</mtext>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{Kondo}}(T)\propto J/\epsilon _{f}\log T\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac8a6635124d5c48c3df58cfd49417a3151f6317.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.577ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{Kondo}}(T)\propto J/\epsilon _{f}\log T\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Hierbei ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon _{f}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon _{f}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c07dbe00bb5d293a8ae18e732b048a3cea7955ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.08ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \epsilon _{f}}" loading="lazy"></span> die <a href="Fermi-Energie" title="Fermi-Energie">Fermi-Energie</a>.

Dieser logarithmische Term führt also zu einem Anstieg des Widerstandes bei tiefen Temperaturen und kann damit die experimentellen Daten erklären. Allerdings divergiert dieser Term für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c6a5b6d0370b358a8d5f3df6d17eeca08d3629b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.897ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T=0}" loading="lazy"></span>, was ein unphysikalisches Verhalten beschreibt. Diese Divergenz ist als Kondo-Problem bekannt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">C. Zener: <cite style="font-style:italic">Interaction Between the $d$ Shells in the Transition Metals</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Phys. Rev.</cite> <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>81</span>, 1951, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>440–444</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRev.81.440">10.1103/PhysRev.81.440</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kondo-Modell&rft.atitle=Interaction+Between+the+%24d%24+Shells+in+the+Transition+Metals&rft.au=C.+Zener&rft.btitle=Phys.+Rev.&rft.date=1951&rft.doi=10.1103%2FPhysRev.81.440&rft.genre=book&rft.pages=440-444&rft.volume=81" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">T. Kasuya: <cite style="font-style:italic">A Theory of Metallic Ferro- and Antiferromagnetism on Zener’s Model</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Progress of Theoretical Physics</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>16</span>, 1956, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>45–57</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1143/PTP.16.45">10.1143/PTP.16.45</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kondo-Modell&rft.atitle=A+Theory+of+Metallic+Ferro-+and+Antiferromagnetism+on+Zener%E2%80%99s+Model&rft.au=T.+Kasuya&rft.btitle=Progress+of+Theoretical+Physics&rft.date=1956&rft.doi=10.1143%2FPTP.16.45&rft.genre=book&rft.pages=45-57&rft.volume=16" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">J. Kondo: <cite style="font-style:italic">Resistance minimum in dilute magnetic alloys</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Progress of Theoretical Physics</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>32</span>, 1964, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>37–49</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1143/PTP.32.37">10.1143/PTP.32.37</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kondo-Modell&rft.atitle=Resistance+minimum+in+dilute+magnetic+alloys&rft.au=J.+Kondo&rft.btitle=Progress+of+Theoretical+Physics&rft.date=1964&rft.doi=10.1143%2FPTP.32.37&rft.genre=book&rft.pages=37-49&rft.volume=32" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4264343-0">4264343-0</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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